Phương trình đường thẳng trong không gian

Ta đã biết trong hệ trục toạ độ Oxy phương trình tham số của đường thẳng có dạng

Như vậy trong không gian Oxyz phương trình của đường thẳng có dạng như thế nào? (h.3.14b).

I – PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG

1 Trong không gian Oxyz cho điểm M₀(1;2;3) và gau đuển M₁ (1+t ; 2+t ; 3+t), M₂(1+2t ; 2+2t ; 3+2t) di động với tham số t. Hãy chứng tỏ ba điểm M₀, M₁, M₂ luôn thẳng hàng.

Định lí

Trong không gian Oxyz cho đường thẳng đi qua điểmM₀ (x₀; y₀ ; z₀ ) và nhận làm vecto chỉ phương.

Điều kiện cần và đủ để điểm M(x ; y ; z) nằm trên là một số thực t sao cho

Chứng minh

Định nghĩa

Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M₀ (x₀; y₀ ; z₀ ) và có vecto chỉ phương

là phương trình có dạng

trong đó t là tham số.

Chú ý. Nếu a₁;a₂;a₃ đều khác 0 thì người ta còn có thể viết phương trình của đường thẳng

dưới dạng chính tắc như sau:

Ví dụ 1. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M₀ (1;2;3) và có vecto chỉ phương là

Giải

Phương trình tham số của là :

Ví dụ 2. Viết phương trình tham số của đường thẳng AB với A(1 ; -2 ; 3) và B(3 ; 0 ; 0).

Giải

Hãy tìm toạ độ của một điểm M trên và toạ độ một vecto chỉ phương của .

II – ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, CẮT NHAU, CHÉO NHAU

3 Cho hai đường thẳng d và d’ có phương trình tham số lần lượt là

a) Hãy chứng tỏ điểm M(1 ; 2 ; 3) là điểm chung của d và d’ ;

b) Hãy chứng tỏ d và d’ có hai vecto chỉ phương không cùng phương.

Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng d, d’ có phương trình tham số lần lượt là

Sau đây ta xét vị trí tương đối giữa d và d’, nghĩa là xét điều kiện để d và d’ song song, cắt nhau hoặc chéo nhau.

1. Điều kiện để hai đường thẳng song song

Ta có :

Giải

2. Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau

Hai đường thẳng d và d’ cắt nhau khi và chỉ khi hệ phương trình ẩn t, t’ sau

có đúng một nghiệm.

Chú ý. Giả sử hệ (1) có nghiệm t₀t₀, để tìm giao điểm M0¬ của d và d’ ta có thể thay t₀ vào phương trình tham số của d hoặc thay t₀ vào phương trình tham số của d’.

Ví dụ 2. Tìm giao điểm của hai đường thẳng sau:

Từ (1) và (2) suy ra t = -1 và t’ = 1. Thay vào phương trình (3) ta thấy nó thoả mãn. Vậy hệ phương trình trên có nghiệm là t = -1, t’ = 1.

Suy ra d cắt d’ tại điểm M(0 ; -1 ; 4).

3. Điều kiện để hai đường thẳng chéo nhau

Ta biết rằng hai đường thẳng chéo nhau nếu chúng không cùng phương và không cắt nhau. Do vậy

Hai đường thẳng d và d’ chéo nhau khi và chỉ khi không cùng phương và hệ phương trình