Bài 1. Phương trình đường thẳng

Trong chương này chúng ta sử dụng phương pháp toạ độ để tìm hiểu về đường thẳng, đường tròn và đường elip.

1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

1?. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng  là đồ thị của hàm số:

a) Tìm tung độ của hai điểm M₀ và M nằm trên , có hoành độ lần lượt là 2 và 6.

b) Cho vectơ  = (2;1). Hãy chứng tỏ  cùng phương với .

Định nghĩa

Vectơ  được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng  nếu  và giá của  song song hoặc trùng với .

Nhận xét

- Nếu  là một vectơ chỉ phương của đường thẳng  thì  cũng là một vectơ chỉ phương của . Do đó một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương.

- Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.

2. Phương trình tham số của đường thẳng

a) Định nghĩa

Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng  đi qua điểm M₀(x₀;y₀) và nhận  (u₁;u₂) làm vectơ chỉ phương. Với mỗi điểm M(x;y) bất kì trong mặt phẳng, ta có . Khi đó:

Hệ phương trình (1) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng , trong đó t là tham số.

Cho t một giá trị cụ thể thì ta xác định được một điểm trên đường thẳng .

2?. Hãy tìm một điểm có tọa độ xác định và một vectơ chỉ phương của đường thẳng có phương trình tham số.

b) Liên hệ giữa vectơ chỉ phương và hệ số góc của đường thẳng

Cho đường thẳng  có phương trình tham số:

Gọi A là giao điểm của  với trục hoành. Av là tia thuộc  ở về nửa mặt phẳng tọa độ phía trên (chứa tia Oy). Đặt , ta thấy . Số k chính là hệ số góc của đường thẳng  mà ta đã biết ở lớp 9.

Như vậy, nếu đường thẳng  có vectơ chỉ phương  (u₁;u₂) với u₁ 0 thì  có hệ số góc .

3?. Tính hệ số góc của đường thẳng d có vectơ chỉ phương là 

Ví dụ. Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua hai điểm A(2;3) và B(3;1). Tính hệ số góc của d.

Giải:

Vì d đi qua A(2;3) và B(3;1) nên d có vectơ chỉ phương 

Phương trình tham số của d là:

Hệ số góc của d là:

3. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

4?. Cho đường thẳng  có phương trình:

Hãy chứng tỏ  vuông góc với vectơ chỉ phương của .

Định nghĩa

Vectơ  được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng  nếu  và  vuông góc với vectơ chỉ phương của .

Nhận xét

- Nếu  là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng  thì  cũng là một vectơ pháp tuyến của . Do đó một đường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến.

- Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của nó.

4. Phương trình tổng quát của đường thẳng

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng  đi qua điểm M₀(x₀;y₀) và nhận  (a;b) làm vectơ pháp tuyến.

Với mỗi điểm M(x;y) bất kì thuộc mặt phẳng, ta có:

a) Định nghĩa

Phương trình ax + by + c = 0 với a và b không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng.

Nhận xét. Nếu đường thẳng  có phương trình là ax + by + c = 0 thì  có vectơ pháp tuyến là  (a;b) và có vectơ chỉ phương là  = (-b;a).

5?. Hãy chứng minh nhận xét trên.

b) Ví dụ. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng  đi qua hai điểm A(2;2) và B(4;3).

Giải:

Đường thẳng  đi qua hai điểm A, B nên có vectơ chỉ phương là 

Từ đó suy ra  có vectơ pháp tuyến là  = (-1;2). Vậy đường thẳng  có phương trình tổng quát là:

(-1).(x – 2) + 2(y – 2) = 0

hay x – 2y + 2 = 0.

6?. Hãy tìm tọa độ của vectơ chỉ phương của đường thẳng có phương trình:

3x + 4y + 5 = 0.

c) Các trường hợp đặc biệt

Phương trình (2) được gọi là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn, đường thẳng này cắt Ox và Oy lần lượt tại M(a₀;0) và N(0;b₀) (h.3.9).

7?. Trong mặt phẳng Oxy hãy vẽ các đường thẳng có phương trình sau đây:

d₁: x – 2y = 0

d₂: x = 2

d₃: y + 1 = 0

d₄: x/8 + y/4 = 1

5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Xét hai đường thẳng  và  có phương trình tổng quát lần lượt là:

a₁x + b₁y + c₁ = 0 và a₂x + b₂y + c₂ = 0

Tọa độ giao điểm của  và  là nghiệm của hệ phương trình:

Ta có các trường hợp sau:

a) Hệ (I) có một nghiệm (x₀;y₀), khi đó  cắt  tại điểm M₀(x₀;y₀).

b) Hệ (I) có vô số nghiệm, khi đó  trùng với .

c) Hệ (I) vô nghiệm, khi đó  và  không có điểm chung, hay  song song với .

Ví dụ. Cho đường thẳng d có phương trình x – y + 1 = 0, xét vị trí tương đối của d với mỗi đường thẳng sau:

Giải:

a) Xét d và , hệ phương trình

có nghiệm (1;2).

Vậy d cắt  tại M(1;2) (h.3.10).

b) Xét d và , hệ phương trình:

Vậy d //  (h.3.11).

 

c) Xét d và , hệ phương trình:

có vô số nghiệm (vì các hệ số của (1) và (2) tỉ lệ).

Vậy  (h.3.12).

8?. Xét vị trí tương đối của đường thẳng : x – 2y + 1 = 0 với mỗi đường thẳng sau:

d₁: -3x + 6y – 3 = 0

d₂: y = – 2x

d₃: 2x + 5 = 4y.

6. Góc giữa hai đường thẳng

Hai đường thẳng  và  cắt nhau tạo thành bốn góc. Nếu  không vuông góc với  thì góc nhọn trong số bốn góc đó được gọi là góc giữa hai đường thẳng  và . Nếu  vuông góc với  thì ta nói góc giữa  và  bằng 90⁰.

Trường hợp  và  song song hoặc trùng nhau thì ta quy ước góc giữa  và  bằng 0⁰. Như vậy góc giữa hai đường thẳng luôn bé hơn hoặc bằng 90⁰.

Góc giữa hai đường thẳng  và được kí hiệu là 

Cho hai đường thẳng:

7. Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng  có phương trình ax + by + c = 0 và điểm M₀(x₀;y₀).

Phương trình tham số của đường thẳng m đi qua M₀(x₀;y₀) và vuông góc với đường thẳng  là:

trong đó  (a;b) là vectơ pháp tuyến của .

Giao điểm H của đường thẳng m và  ứng với giá trị của tham số là nghiệm t_H của phương trình:

10?. Tính khoảng cách từ các điểm M(-2;1) và O(0;0) đến đường thẳng  có phương trình 3x – 2y – 1 = 0.

Câu hỏi và bài tập

1. Lập phương trình tham số của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:

a) d đi qua điểm M(2;1) và có vectơ chỉ phương  = (3;4).

b) d đi qua điểm M(-2;3) và có vectơ pháp tuyến là  = (5;1).

2. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng  trong mỗi trường hợp sau:

a)  đi qua M(-5;-8) và có hệ số góc k = -3.

b)  đi qua hai điểm A(2;1) và B(-4;5).

3. Cho tam giác ABC, biết A(1;4), B(3;-1) và C(6;2).

a) Lập phương trình tổng quát của các đường thẳng AB, BC và CA.

b) Lập phương trình tổng quát của đường cao AH và trung tuyến AM.

4. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm M(4;0) và điểm N(0;-1).

5. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d₁ và d₂ sau đây:

6. Cho đường thẳng d có phương trình tham số

Tìm điểm M thuộc d và cách điểm A(0;1) một khoảng bằng 5.

7. Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ lần lượt có phương trình:

d₁: 4x – 2y + 6 = 0 và d₂: x – 3y + 1 = 0.

8. Tìm khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng trong các trường hợp sau:

a) A(3;5)

d: 4x + 3y + 1 = 0

b) B(1;-2)

d’: 3x – 4y – 26 = 0

c) C(1;2)

m: 3x + 4y – 11 = 0

9. Tìm bán kính của đường tròn tâm C(-2;-2) tiếp xúc với đường thẳng d: 5x + 12y – 10 = 0.

Bài liên quan:

• BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
• BÀI 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP
• Ôn tập chương III – HH10 CB